Expert systèmes critiques

Capteurs intelligents


Un « capteur intelligent » est un dispositif composé de capteurs et de logiciels, qui permettent de mesurer une grandeur physique, dans la perspective d’en faire le contrôle/commande.
Les applications sont multiples: navigation inertielle en aéronautique et spatial, restitution de trajectoire d’avions ennemis…

Voici trois exemples de capteurs intelligents, tous les trois basés sur une « équation d’état » et une « mesure » qui est ou n'est pas linéaire et qui est ou n'est pas stationnaire.

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Un observateur d’état est fondé sur une « équation d’état » et une « mesure » linéaires stattionnaires. L’intérêt d’un tel observateur est de corriger les erreurs de modèle en compensant par une « innovation » fonction de l’erreur de mesure.

L’état est un vecteur colonne X à N valeurs qui a une dynamique dX/dt de la forme AX + BU, ou:
- A est une matrice carrée constante à N lignes et N colonnes
- U est un vecteur de commande à M valeurs
- B es une matrice constante à M lignes et N colonnes

La mesure Y est la grandeur (ou le vecteur à P valeurs) mesurée par le (ou les) capteur(s) et est de la forme CX, où C est une matrice constate à P lignes et N colonnes.

Les équations de dynamique d’état et de mesure sont échantillonnées à la fréquence dt:
Xn°1 = F Xn + G Un,
F = I
N + dt A, IN matrice identité à N lignes et N colonnes, G = B dt
Y
n = H Xn, H = C

L’observateur d’état a la même dynamique que l’état, à ceci prêt qu’on ajoute une « innovation » K (yn, mes - H Xn, obs), où:
- yn,mes est la mesure à l’instant n dt issue du ou ds capteur(s)
- X
n,obs est l’observation de l’état à l’instant n dt
- K
est le gain de l’observateur (matrice constante à N lignes et P colonnes)

L’évolution de Xobs est donc donnée par l’équation:
Xn+1, obs = F Xn, obs + G Un + K (yn, mes - H Xn, obs)

Pour que l’observateur d’état soit un algorithme convergent, la matrice de gain K doit être telle que les valeurs propres de la matrice F - K H soient de module strictement inférieur à 1.
Un filtre de Kalman est un observateur d'état instationnaire qui minimise la variance de l'erreur d'estimation pour une « équation d’état » et une « mesure » linéaires, mais non nécessairement stationnaire.

L’état est un vecteur colonne X à N valeurs qui a une dynamique dX/dt de la forme A(t)X + B(t)U, ou:
- A(t) est une matrice carrée constante à N lignes et N colonnes pouvant dépendre de l'instant t.
- U est un vecteur de commande à M valeurs
- B(t) es une matrice constante à M lignes et N colonnes pouvant dépendre de l'instant t.

La mesure Y est la grandeur (ou le vecteur à P valeurs) mesurée par le (ou les) capteur(s) et est de la forme C(t)X, où C(t) est une matrice constate à P lignes et N colonnes pouvant dépendre de l'instant t.

Les équations de dynamique d’état et de mesure sont échantillonnées à la fréquence dt:
Xn°1 = Fn Xn + Gn Un + Vn
Fn = I
N + dt A(n dt), IN matrice identité à N lignes et N colonnes, Gn = dt B(n dt)
V
n est un bruit blanc de martice de covarrance Qn représentatif de l'erreur de modèle
Y
n = Hn Xn, Hn = C(n dt) + Wn,
W
n est un bruit blanc de matrice de covariance Rn représentatif de l'erreur de mesure.

Le filtre de Kalman a la même dynamique que l’état sans le bruit, à ceci prêt qu’on ajoute une « innovation » Kn (yn, mes - Hn Xn, obs), où:
- yn,mes est la mesure à l’instant n dt issue du ou ds capteur(s)
- X
n,obs est l’observation de l’état à l’instant n dt
- K
n est le gain de Kalman, calculé pour minimiser la variance de l'erreur d'estimation Pn.

Kn est calculé simultanément avec Pn à l'aide des équations de récurrence suivantes:

Pn/n-1 = Fn Pn-1 (Fn)T + Gn Un
S
n : Hn Pn/n-1 (Hn)T Rn

K
n = Pn/n-1 (Hn)T (Sn)-1
P
n = (IN - Kn Hn) Pn/n-1

L’évolution de Xobs est ensuite donnée par l’équation:
Xn+1, obs = Fn Xn, obs + Gn Un + Kn (yn, mes - Hn Xn, obs)
Lorsque l’équation d’état et/ou l’équation de mesure n’est pas linéaire, il est encore possible d'estimer l'état par un filtre de Kalman dit "étendu".

Pour ce faire, les équations d'état et de mesure sont linéarisées en calculant les dérivées partiellles des fonctions d'évolution d'état et de mesure par rapport à l'état X.

Les gains de Kalman sont alors calculés avec les matrices de dérivées partielles comme aec les matrices F et H d'un système linéaire (voir ci-contre).

L’évolution de Xobs est ensuite donnée par l’équation:
Xn+1, obs = fn(Xn, obs) + Kn (yn, mes - hn(Xn, obs) )



Un moyen de générer un observateur stable sur un système linéaire stationnaire es de faire tourner le calcul ce gain d'un filtre de Kalman (voir ci-contre) sur ce système jusqu'à obtenir un gain quasi asymptotique quasi constant. Ce gain peut alors être utilisé dans un observateur appelé Kalman stationnaire.